证明之决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法

(本文于 2016-5-7 22:40 首发于 “科学网”)

决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的定义请大家自行查阅相关文献或者中英文维基百科。

进入正题，开始“决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法”的推导过程，各点说明如下。

点1. 各参数计算方式：

点2. 关于样本方差（sample variance 或 var(y) ）的计算公式：

点3. 明确一些R^2计算相关英文的缩写：

3.1: TSS=SST Total sum of squares;

3.2: ESS=RegSS Regression (Explained) Sum of Squares (https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares);

3.3: RSS=SSR=SSE Residual Sum of Squares; Sum of Squared Residuals or Sum of Squared Errors of prediction（https://en.wikipedia.org/wiki/Residual_sum_of_squares);

3.4: RegSS = SST - SSE;

3.5: TSS = ESS + RSS (https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_sums_of_squares);

3.6: R^2 = RegSS/SST = 1 − SSE/SST.

3.7: Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k))

点4. SST与方差的关系

由”点1”和”点2”可知:

4.1: SST=(var(y))*(n-1) 即：总平方和 = 样本方差 * (样本数-1)

由此可以推导出在只知道 “Residual Sum of squares” (即SSE)的情况（如Origin 和 R 软件的非线性拟合），R^2的计算公式 equation(3)：

点5. 决定系数R^2与调整决定系数R^2的换算公式，请直接查阅英文维基百科。

equation (2)：

补充内容如下：

the Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k−1))

即 SSE= (residual standard error^2) * (n-k-1)

#其中“n”为y的样本数，“k”为参数个数（此处k＝2，即y=ax+b中的参数a和b)

∴ R^2 = 1- [(residual standard error^2) (n-k)] / [(var(y)) * (n-1)]

equation (1)：

其中“n”为变量y的样本数，“k”为变量个数（如k＝2，即y=a*x+b的拟合情况）

小贴士：决定系数R^2和相关系数r^2是两个不同的概念，但二者的数值是相等的，在描述时需要注意。

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