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证明之决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法


(本文于 2016-5-7 22:40 首发于 “科学网”)

决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的定义请大家自行查阅相关文献或者中英文维基百科。

进入正题,开始“决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法”的推导过程,各点说明如下。

点1. 各参数计算方式:


点2. 关于样本方差(sample variance 或 var(y) )的计算公式:

点3. 明确一些R^2计算相关英文的缩写:

3.1: TSS=SST Total sum of squares;

3.2: ESS=RegSS Regression (Explained) Sum of Squares (https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares);

3.3: RSS=SSR=SSE Residual Sum of Squares; Sum of Squared Residuals or Sum of Squared Errors of prediction(https://en.wikipedia.org/wiki/Residual_sum_of_squares);

3.4: RegSS = SST - SSE;

3.5: TSS = ESS + RSS (https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_sums_of_squares);

3.6: R^2 = RegSS/SST = 1 − SSE/SST.

3.7: Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k))


点4. SST与方差的关系

由”点1”和”点2”可知:

4.1: SST=(var(y))*(n-1) 即:总平方和 = 样本方差 * (样本数-1)

由此可以推导出在只知道 “Residual Sum of squares” (即SSE)的情况(如Origin 和 R 软件的非线性拟合),R^2的计算公式 equation(3):

<img src=”http://image.sciencenet.cn/album/201605/07/222037tile9z9c72gi1ji2.png" width=50% aligin=center/)

点5. 决定系数R^2与调整决定系数R^2的换算公式,请直接查阅英文维基百科

equation (2):

<img src=”http://image.sciencenet.cn/album/201605/07/222634rjmsznstrsnljm6l.png" width=50% aligin=center/)

补充内容如下:

the Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k−1))

即 SSE= (residual standard error^2) * (n-k-1)

#其中“n”为y的样本数,“k”为参数个数(此处k=2,即y=ax+b中的参数a和b)

∴ R^2 = 1- [(residual standard error^2)
(n-k)] / [(var(y)) * (n-1)]





equation (1):

<img src=”http://image.sciencenet.cn/album/201605/07/222634tjrgtmzmzntmjsn1.png" width=50% aligin=center/)

其中“n”为变量y的样本数,“k”为变量个数(如k=2,即y=a*x+b的拟合情况)




小贴士:决定系数R^2和相关系数r^2是两个不同的概念,但二者的数值是相等的,在描述时需要注意。



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